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미분기하학의 대가, do Carmo가 설명하는 완벽한 미분기하학 개론서

이 책은 미분기하학의 필수 개념을 명확하고 엄밀하게 설명한다. 심도 있는 설명으로 미분기하학의 원리를 깨우치고, 검증된 다양한 문제를 풀어 보며 개념을 확장하고 응용력을 키울 수 있다. 또한 기하학적 접근을 강조한 설명 방식으로 개념을 보다 직관적으로 설명하기 때문에 국소적이고 대역적인 측면에서 곡선과 곡면의 아름다움을 탐구할 수 있다. 미분기하학을 마스터하고 싶다면 이 책 한 권이면 충분하다.

1장 곡선

1.1 개요

1.2 매개화된 곡선

1.3 정칙곡선과 호의 길이

1.4 R^3에서의 벡터곱

1.5 호의 길이로 매개화된 곡선의 국소 이론

1.6 국소 표준형*

1.7 평면곡선의 대역적 성질*

2장 정칙곡면

2.1 개요

2.2 정칙곡면 : 정칙값의 역상

2.3 매개변수의 변환 : 곡면 위의 미분가능한 함수

2.4 접평면 : 사상의 미분

2.5 제1기본형식 : 넓이

2.6 곡면의 향*

2.7 향을 정할 수 있는 콤팩트곡면의 특성*

2.8 넓이의 기하학적 정의*

부록 : 연속성과 미분가능성의 개요

3장 가우스사상의 기하학

3.1 개요

3.2 가우스사상의 정의와 기본 성질

3.3 국소좌표계에서의 가우스사상

3.4 벡터장*

3.5 선직면과 극소곡면*

부록 : 자기수반선형사상과 이차형식

4장 곡면의 내재적 기하학

4.1 개요

4.2 등거리변환과 등각사상

4.3 가우스 정리와 양립방정식

4.4 평행이동과 측지선

4.5 가우스-보네 정리와 그 응용

4.6 지수사상과 측지 극좌표

4.7 측지선의 다른 성질 : 볼록근방*

부록 : 곡선과 곡면의 국소 이론에 대한 기본 정리의 증명

5장 대역적 미분기하학

5.1 개요

5.2 구의 강체성

5.3 완비곡면과 호프-리노우 정리

5.4 호의 길이의 제1변분과 제2변분 : 보네 정리

5.5 야코비장과 켤레점

5.6 덮개공간 : 아다마르 정리

5.7 곡선의 대역적 정리 : 페어리-밀너 정리

5.8 가우스곡률이 0인 곡면

5.9 야코비 정리

5.10 추상곡면 : 추가적인 일반화

5.11 힐베르트 정리

부록 : 유클리드 공간에 대한 일반 위상수학

참고문헌과 관련 설명

기하학적 접근 방식으로 미분기하학 이론을 명확하게 설명하는 개론서

이 책은 미분기하학 분야의 권위가로 알려진 Mannfredo P. do Carmo의 명저 『Differential Geometry of Curves and Surfaces』의 국내 첫 번역서입니다. 미분기하학의 필수 이론을 모두 다루는 바이블 도서이며, 곡선과 곡면의 미분기하학을 국소적인 측면과 대역적인 측면 모두에서 소개합니다. 기계적으로 세부 내용을 다루기보다는 기본적인 기하학 성질을 강조하기 때문에 개념을 보다 명확하고 직관적으로 이해할 수 있습니다. 또한 이 책을 처음 공부할 때 생략할 수 있는 주제를 별도로 표기하여 어떤 내용을 필수로 공부해야 하는지 친절하게 알려줍니다. 각 장의 첫 번째 절에서는 해당 장에서 무엇을 배우며, 다른 장과 어떻게 연계되는지 설명합니다. 복잡하고 추상적인 개념은 다양한 그림 자료를 활용하여 보다 쉽게 구체적으로 제시합니다. 그리고 문제해결력과 응용력을 키울 수 있도록 다양한 유형의 문제를 실었습니다. 이 책의 엄밀하고 명확한 설명을 따라가면 미분기하학을 마스터할 수 있습니다.